¿Cuales son todas las primitivas de $f(x)=1/x$?

Para alguien que haya estudiado un poquito de cálculo integral (pensemos en un alumno de un bachillerato de ciencias),  esta pregunta debería ser sencilla. ¿De verdad sabemos responderla? Pues quizás te sorprenda la respuesta. A mi lo ha hecho.

Vamos poquito a poco.

Os recuerdo (o enseño para quien no lo sepa aún) que una primitiva de una función $f(x)$ es otra función $F(x)$, definida en el mismo dominio que la anterior y que cumnple que $F'(x)=f(x)$. Por supuesto, $F(x)$ debe ser derivable en todo su dominio.

Tradicionalmente, se escribir $\int \frac{1}{x}\,dx$, para denotar al conjunto de todas las primitivas, que es el que queremos describir en ests entrada.

Vale. Pues una forma sencilla de calcular primitivas es acudiendo a las reglas clásicas de derivación y mirándolas al revés. De esta forma es como (hablando en plata) se crean las reglas básicas de integración.

Pues si vamos a las reglas de derivación nos encontramos con que

$$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$$

Entonces parece que la función $F(x)=\ln (x)$ es una primitiva de nuestra función. Pero como la derivada de las constantes es siempre cero, podríamos decir que TODAS las primitivas de la función son

$$\int\frac{1}{x}\,dx=\ln(x)+C,\  C\in\Bbb R$$  

Ahí, con el famoso $+C$ de las intergales indefinidas.

Pues ya tenemos el primer error (uno de los más habituales cuando se comienza en este mundo de las integrales indefinidas). Resulta que estas funciones sólo están definidas para $x>0$, mientras que $f(x)=\frac{1}{x}$ también es válida si $x<0$.

Este problema ya se conoce y se conoce la solución.

Resulta que si $x<0$, entonces $-x>0$ y $\ln(-x)$ sí que está bien definido. Además

$$\frac{d}{dx}(\ln(-x))=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}$$

Por lo tanto, si $x<0$, resulta que $\ln(-x)$ es primitiva de $f(x)=\frac{1}{x}$.

Y si ponemos todo junto, reuslta que

$$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{array}\right.$$  

es una primitiva de nuestra función $f(x)$ en todo su dominio. Pero hay una forma más sencilla de escribir esto: $F(x)=\ln|x|$ (sí, con valor absoluto). 

Así que, si nos acordamos de nuetra amiga la constante, resulta que TODAS las primitivas de nuestra fucnión serán

$$\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,\ C\in\Bbb R.$$

Y hasta aquí el post de hoy. Muchas gracias por su atención.

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¿Qué pasa?

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¿Que esto es "lo de siempre"?

Ah vale, claro. Que esto ya te lo sabías y no te sorprende y que yo te había prometido una sorpresa.... así que...

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SORPEESA!!!!!!

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Bien, ahora en serio. 

¿De verdad crees que esas eran TODAS las primitivas de nuestra función $f(x)=\frac{1}{x}$?

Pues resulta que no. Resulta que podemos hacer lo siguiente y definir

$$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\ln(x)+C_1&x>0\\\ln(-x)+C_2&x<0\end{array}\right.$$  

donde $C_1,C_2\in\Bbb R$ son dos constnates.... QUE NO TIENEN por qué coincidir.

Entonces, no es muy difícil comprobar que $F'(x)=\frac{1}{x}$ siempre que $x\ne 0$. Por lo tanto, estas funciones TAMBIÉN son primitivas de $f(x)$ que NO SON de la forma $\ln|x|+C$.

JODER JODER JODER Si falla el truco del $+C$.... entonces.... mejor me hago FÍSICO!!!!

No, tranquilo, que no panda el cúnico.

¿Por qué ocurre esto? Os recuerdo que el truco del $+C$ consiste, realmente, en sumar "cualquier función derivable en el dominio cuya derivada sea 0". 

Ahora pensemos. El dominio de $f(x)$ es especial pues NO ES CONEXO: $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$. Así que TODAS las funciones DERIVABLES en dicho dominio cuya derivada es 0 son:

$$C(x)=\left\{\begin{array}{ll}C_1&x>0\\-C_2&x<0\end{array}\right.$$

una función con dos escalones a diferentes alturas separadas por un minúsculo y puntual agujero que evita la DISCONTINUIDAD.

Por lo tanto, TODAS las primitivas de $f(x)=\frac{1}{x}$ serán

$$F(x)=\ln|x|+C(x).$$

Una curiosa sorpresa. Al menos para mí así lo ha sido cuanod lo he visto aquí.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 12.2: Carl Friedrich Gauss del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Gaussianos.