La historia nos dice que el primero en demostrar la irracionalidad de esta famosa constante fue Johan Lambert en torno a 1761. En el presente artículo, vamos a esbozar la demostración original de Lambert y también daremos una prueba alternativa muy simple (que cualquiera con conocimientos básicos de derivadas, integrales y cálculo de límites -y con un poco de sentido común- puede seguir) debida a Ivan Niven en 1947. ¿Quieres aprender algo más sobre nuestro número más famoso?
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Fuente: Wikipedia |
Teorema de Lambert: Si
Como consecuencia de este hecho, como
La prueba del Teorema de Lambert se basa en dos lemas previos .
Lema 1: Consideremos la fracción continua generalizada
en donde
Lema 2: Si
Una vez que tiene esto, vamos a ver cómo concluir el resultado de Lambert.
Demostración del Teorema de Lambert: Sea
Si ahora queremos aplicar el Lema 1, vamos a escribir esta fracción continua con la notación de dicho lema:
Como
Para saber más: Si quieres ver las pruebas de los dos Lemas previos del Teorema de Lambert, puedes encontrarla en The World of Pi.
Fuente: Oberwolfach |
Bien, ya hemos esbozado la demostración original. Ahora vamos a ver una de las pruebas más simples en la que sólo hay que saber derivar e integrar. Esta prueba, como hemos dicho antes, se debe a Ivan Niven.
Supongamos, por reducción al absurdo, que
Tengamos en cuenta que
Con respecto a las otras funciones es fácil comprobar lo siguiente:
Ya hemos derivado (como prometimos), ahora vamos a integrar:
Pero como
Por otro lado, si
Pero es un simple ejercicio comprobar que
Tito Eliatron Dixit
Referencias:
- A simple proof that π is irrational (PDF) Ivan Nive (Bulletin of the American Mathematical Society 53 (6): 509)
- Cómo demostrar que π es irracional, Gaussianos.
- Proof that π is irrational, Wikipedia.
- Lambert, Pi is irrational, World of Pi.
No entiendo el interés de la frase
ResponderEliminar"... es fácil comprobar que f(j)n(0)f(j)n(0) es un número entero y, por tanto, f(j)n(π)=f(j)n(p/q)"... si π=p/q
Es una mala redacción. quería decir que f^{(j)}(pi) es también entero en parte porque coincide con f^{(j)}(p/q).
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