¿Es posible que sumando cosas cada vez más pequeñas al final lleguemos al infinito? Dicho en lenguaje matemático, ¿existen series divergentes cuyo término general tiende a cero? La respuesta es que claro que sí. Y seguro que te ha venido a la mente EL EJEMPLO clásico: La serie armónica. En este artículo vamos a ver alguna forma de probar que la serie armónica es divergente.
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Idea extraída de aquí |
Una de las demostraciones más sencillas se apoya en la relación que hay entre series e integrales.
Llamemos
Comencemos hablando un poco del logaritmo:
Vale, esta demostración es un poco tramposa precisamente porque hace uso de la relación entre integral y serie. De hecho no muestra realmente cómo se produce la divergencia. Vamos a ver ahora otra demostración muy sencilla que extraje de la web de Leo Goldmakher (concretamente de aquí).
Supongamos, por reducción al absurdo, que la serie armónica es convergente y que su suma es
, es decir,
En general se tiene que
, por lo que podemos afirmar que
Si ahora sumamos cada paréntesis llegamos a que
lo que nos lleva a una clara contradicción. Por lo que la serie armónica no puede ser convergente.
Tal y como apunta el autor de esta demostración, tiene una ventaja con la demostración clásica. En ella, se van agrupando cada vez más términos (de una potencia de 2 a la siguiente) y esto puede hacer que el alumno se pierda. En esta versión, se agrupan términos de 2 en 2, lo que hace las cosas algo más sencillas.
Ya vosotros elegís lo que os gusta más. Yo ya he cumplido. A disfrutar.
PD: Esta entrada participa en la Edición 6.9: Conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog ::ZTFNews.org.
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