¿Es posible que sumando cosas cada vez más pequeñas al final lleguemos al infinito? Dicho en lenguaje matemático, ¿existen series divergentes cuyo término general tiende a cero? La respuesta es que claro que sí. Y seguro que te ha venido a la mente EL EJEMPLO clásico: La serie armónica. En este artículo vamos a ver alguna forma de probar que la serie armónica es divergente.
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| Idea extraída de aquí |
Una de las demostraciones más sencillas se apoya en la relación que hay entre series e integrales.
Llamemos
![[;H_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n};]](https://lh4.googleusercontent.com/proxy/TeyjVPJ5oYvOPuZF-vQiwTdXfKbvB5tJ_Nz4l_Tk_Yeca2UVk90_TxDJfnZYYYnPkTvDDInOiajhxsIzdk0NyV0bWYssBW6KhD9NYMqKizTym7IGUH3Bla9aFwHTkmTyD-uDymAr_P1plqskbFFe=s0-d "H_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}")
a la suma parcial enésima de la serie armónica. Comencemos hablando un poco del logaritmo:
![[;\log(n+1)=\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx =\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,dx < \sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\frac{1}{k}\, dx=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=H_n;]](https://lh5.googleusercontent.com/proxy/ms2tc1tOlMH9e12nbtg6ICtEJsAZPHf3-zk2hR3GW9uyKPLaX9sc0GWHDaT6XeGvWKvLbBdBwzCd09KWEanJVIqtc3FzSUYNre7EmQBxM2RF1MAsyK1mumnpjh2JHz9GEQ-3bp6BkrATVMgpS0HnmfckFn5zrstQiezty1lWNGP7wn9ZkjXyCpNohXD25Y9jQ8WJjjWwWsze1BI2ZEvpvcGfRjoU-hnVFoALQNEkEl2PrBQmohul58hVLBZJXQRpHzLQH6MOFykNDvZAEuNYnQ355_Lbj0r--m4YiiWM0fhLSlS-J_SgZoD-C0qXs33MCO5qVFHOS8WRFiE-YMDlsLcQJt7aHAX6azs8NTdgPbqTm8H8r40VYuh9CJ1isstuU4G0DbPGossls2wPbUKT708Wop_VuxdFdXa-IkVgG9xaeBnLsww=s0-d "\log(n+1)=\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx =\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,dx < \sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\frac{1}{k}\, dx=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=H_n")
![[;H_n>\log(n+1);]](https://lh6.googleusercontent.com/proxy/_VD6yzC9VGYNtWVlaTcArKWKbbT-eXfhJlP4ERrkhMw75wgM4yLxmgF7tb7KDMEwIyeHwkOSVD_dXFrmp5CaDLyIstHZvm0=s0-d "H_n>\log(n+1)")
, de donde se deduce que![[;\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty} H_n=+\infty;]](https://lh4.googleusercontent.com/proxy/4ryYHcEmJnoTkaPujcO0J8N2f772-ua6upIqLifm2am9MeS9eyqO3w-8lPnZ8hgkF9qaPixGjJ0wrxH2UjGK1Fx_nGfVOs4lLXssLEotoXqK74a7OrsI5h95-rYSIu6dzPD03hxObhllWQL38awzfujM0zOES5otiesv4vExp8jA0kXlxq3nnO8HRJUkwQSPNnHWD0g=s0-d "\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty} H_n=+\infty")
Vale, esta demostración es un poco tramposa precisamente porque hace uso de la relación entre integral y serie. De hecho no muestra realmente cómo se produce la divergencia. Vamos a ver ahora otra demostración muy sencilla que extraje de la web de Leo Goldmakher (concretamente de aquí).
Supongamos, por reducción al absurdo, que la serie armónica es convergente y que su suma es ![[;H;]](https://lh3.googleusercontent.com/proxy/N7zwppoFG69ob-Chru3ePRuTzv2sbBNguaP6glKY_tj6Q7WymDl-d46dT1tZ-54-5h6tjvdOqQ=s0-d "H")
, es decir,
, es decir, ![[;H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots;]](https://lh4.googleusercontent.com/proxy/jFxeKOBLn_MdlwKIkWSFmkXletLpS73vywaalT3AeL7UpWk5CtoRzWeZKVDb8PKGsD2pYHXLRs_TLdyFqez_GKkrfJ3HGCr9lzfFFV7BsKvvy9twXguNwjpq2UT0kSl9nlFfmDgcXTl8_zJ3kWIbFHgeGdoaCNb6vFkWeBXurtrNcpfg6ahSmuqUxzl8FCwzHRbTPGz4q2CH7aThQ2Sx7hNScYEhxh6oU2mmShLKAqbEzcXLgd_5_HDfu2dIJpptLJqhPVDfvoyVADGZ3gqu5Fd7dW_-yie8LDtt8g=s0-d "H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots")
En general se tiene que ![[;1/n>1/(n+1);]](https://lh3.googleusercontent.com/proxy/xxQ0zI65eEU0q-GaDWzbB0mPF3G4JhbkS_N0zegrauKKPfvHTRN1DIT3u-mBgg3j8lM7wccbaFqZgZ-Wr-CnzYbyow=s0-d "1/n>1/(n+1)")
, por lo que podemos afirmar que
, por lo que podemos afirmar que![[;H>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/proxy/djSuB0a5fYoN_CpJ8SNvnzCbtTn7PKR6cpl4ePtnyHN_JCkb-dLZVd_ps6sdChi4lb-0T5Y_LVrEJtew6DzrRvMvW8anth-fyy-xfN-om7Njw-_sqJxUqCiPJNuuxZZX1xULhOH05mgSWstTyhVKSn4J5eg0gC6Lmb4LM0beYh0q-RwlU2M-nYTYwY8_OCP73z2ou09IYF7RsxWZFBU4-3CdFWIdbx6Cqlog25c2IX5_P4GNSCyHeLGi9q5-ncII67ZuI8SclR9d1sMlxArpaqXI8vfIbKJ7Pf8s-XNqZNybW5GDT_dpdU-lRej41f8F0E_RxJfvyPsKFWhq3dwPVoW648oho8kzL3wRjih4snwFhg=s0-d "H>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots")
Si ahora sumamos cada paréntesis llegamos a que
![[;H>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)\dots=\frac{1}{2}+H>H;]](https://lh5.googleusercontent.com/proxy/YeZsDAzMfawWclAagaSPLQL8654TGrgBD2r2Ncg7d4kHaeKmaoRxpPwX3cLO-6BvaUgaCMgDoUoP0XqXE-F3lV8ylmQfNFwHxgeEl046OX6iLNsjQ1FJzDkVakOEnPm0E4dpWBLsF1FXaOiqOP9WRMLZOFRXzfAE-zAoCkJ2rclLzrdk_MNqCvMjmmbSih_x3RE0WxzE3MW3dN1XiDT1iT4ud5elr1m-orXcN82wbVl410at70H8N1Rst061tXmSf8c7b3H8r8pevFjUvgzJdSJm8pEUFLMGeaDKToYB19G98rnHfzyumjCW=s0-d "H>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)\dots=\frac{1}{2}+H>H")
lo que nos lleva a una clara contradicción. Por lo que la serie armónica no puede ser convergente.
Tal y como apunta el autor de esta demostración, tiene una ventaja con la demostración clásica. En ella, se van agrupando cada vez más términos (de una potencia de 2 a la siguiente) y esto puede hacer que el alumno se pierda. En esta versión, se agrupan términos de 2 en 2, lo que hace las cosas algo más sencillas.
Ya vosotros elegís lo que os gusta más. Yo ya he cumplido. A disfrutar.
PD: Esta entrada participa en la Edición 6.9: Conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog ::ZTFNews.org.
