Sin embargo, también hay otra definición alternativa de elipse como sección cónica
La pregunta es... ¿cómo sabemos que ambas definiciones coinciden? En este post lo vamos a ver y gracias a un helado.
La demostración que vamos a ver a continuación se conoce en el mundillo matemático como "Ice Cream Proof" y puede encontrarse en el clásico libro Calculus de Tom Apostol.
Pues empecemos por la segunda.
Tomemos un cono recto (en realidad medio cono y entenderé que el vértice está abajo, como si fuera el cucurucho del helado de la imagen) y cortémoslo por un plano (oblicuo, no recto) que corte a todas las generatrices. La sección de ese plano con el cono es nuestra elipse, pero.. ¿quienes serán los focos?
Para encontrarlos, hay que encontrar las esferas tangentes al cono y al plano a la vez. De hecho hay dos, una debajo del plano y otra por encima. Los focos de la elipse serán los puntos de tangencia de esas esferas con el plano.
Vamos a ver un dibujo.
A la derecha vemos la construcción geométrica en 3D y a la izquierda tenemos lo que pasa en el plano secante. ¿Veis ya el porqué del nombre de la prueba?
Voy a poners la parte 3D un poco más grande.
Vamos a justificar ahora que los focos definidos como puntos de tangencia, coinciden con la definición inicial de foco.
Llamemos $F_1$ al punto de tangencia de la esfera de arriba con el plano y $F_2$ al de abajo.
Tomemos un punto $P$ de la elipse y tracemos la generatriz del cono que pasa por $P$. Esta generatriz es TANGENTE a amabas esferas; llamemos $A_1$ y $A_2$ a los puntos de tangencia correspondientes.
Ahora tracemos los segmentos que van desde $P$ hasta $F_1$ y $F_2$. El segmento $\overline{PF_1}$ es tangente a la esfera de arriba en $F_1$, pero el segmento $\overline{PA_1}$ es también tangente a la esfera (esta vez en $A_1$). Entonces es claro que ambos segmentos tienen LA MISMA LONGITUD.
Análogamente, los segmentos $\overline{PF_2}$ y $ \overline{PA_2}$ tienen la misma longitud.
Pero como resulta que $A_1$, $A_2$ y $P$ están alineados, tenemos que $d(P,A_1)+d(P^,A_2)=d(A_1,A_2)$. Así que reuniendo todo tenemos que
$$d(P,F_1)+d(P,F_2)=d(P,A_1)+d(P,A_2)=d(A_1,A_2)$$
y este último número $d(A_1,A_2)$ es INDEPENDIENTE de $P$, es decir, es CONSTANTE.
por lo tanto hemos demostrado que fijado cualquier punto $P$ de la elipse, la suma de las distancias a dos puntos fijos $F_1$ y $F_2$ es igual a una constante. Y esta, queridos amigos, es la definición originale de elipse como lugar geométrico.
Ahora os voy a poner el applet de Geogebra para que jugueteéis un poco con él y vayáis cambiando cosillas.
Acceso directo a Ice Cream Proof: elipse.
Se pueden hacer pruebas similares para las otreas cónicas, hipérbolas y parábolas, pero eso lo dejo ya para otro post que espero publicar en breve. Atentos a la pantalla.
Tito Eliatron Dixit
PD: Esta entrada participa en la Edición 1 del Año X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.
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