En primer lugar, vamos a ver qué es un movimiento matemático. En geometría, se llama movimiento a una aplicación (del plano en el plano o del espacio en el espacio o, más generalmente, de
Pero centrémonos en lo que ocurre en el Plano Euclídeo
El primer movimiento que nos encontramos es el movimiento de Traslación y consiste en empujar los puntos siempre en la misma dirección y siempre la misma distancia. Matemáticamente, se expresa como

El segundo movimiento que vamos a ver es el Giro. Para ello debemos establecer un punto

Dentro de este grupo de movimientos que son los giros hay uno especial y que tiene nombre propio. El giro de ángulo 180º también se conoce como Simetría central. En este caso, el centro sigue siendo un punto doble (o punto fijo, que también se llaman así) pero, a diferencia del resto de giros, cualquier recta que pase por el centro de simetría (ya no de giro) será doble.

Si os fijáis, estos movimientos que acabamos de describir tienen la particularidad que, para llevar la figura inicial y la final pueden sobreponerse una sobre la otra sin salirse del plano. Por esta razón (bueno, no exactamente por esto, pero es una buena aproximación) a las traslaciones y los giros se les conoce como Movimientos Pares.
El tercer tipo de movimiento que vamos a ver ya no cumple la propiedad anterior. Se trata de la Simetría axial. En ella, si fijamos una recta

Como podéis observar, en la simetría, para llevar la figura roja justo encima de la figura azul es necesario salirse del plano y ponerla boca abajo. Por ello, y con la salvedad que ya dije antes, este movimiento es de los llamados Impares.
Pero no es el único, ya que nos falta el último de los movimientos y, quizás, el menos conocido para el público en general. Se trata de la Simetría con deslizamiento. Este movimiento es la composición de una simetría con una traslación cuyo vector no sea perpendicular al eje de la simetría. Y se puede comprobar que, al final, siempre se puede expresar como la composición de una simetría y una traslación cuyo vector es paralelo al eje de simetría.

Como veis, en total hay 4 tipos diferentes de movimientos, uno de los cuales, la simetría con deslizamiento (o antisimetría) es un poco difícil de percibir como tal.
Finalmente, quería comentaros que lo de los términos PAR o IMPAR procede de un resultado que se conoce como Teorema de Cartan-Dieudonné, que nos dice que cualquier movimiento del plano se puede construir a partir de la composición de, como mucho, tres simetrías.
Así, por ejemplo, la composición de una única simetría es la propia simetría. Si componemos 2 simetrías pueden ocurrir 2 cosas: que los ejes sean paralelos, en cuyo caso se obtiene una traslación; o que los ejes se corten en un punto, en cuyo caso obtenemos un giro de centro el punto de corte. Finalmente, la composición de 3 simetrías será una Simetrías con Deslizamiento, salvo en el caso en que los ejes de las 3 simetrías sean paralelos, que obtendremos una nueva simetría.
Así, veréis, que los movimientos PARES son los que se componen de 2 simetrías, mientras que los IMPARES se componen de 1 ó 3 simetrías.
Espero no haberos aburrido demasiado hoy y que hayáis aprendido alguna cosa.
Tito Eliatron Dixit
PD: Esta entrada va a formar parte de la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el blog Los Matemáticos no son Gente Seria.
Créditos
Todas las imágenes están extraídas de la wikipedia, con licencia CC y son obra de Toobaz, excepto la imagen de Simetría Central, que ha sido creada a partir modificaciones de las anteriores imágenes.
De aburrido nada, además esto entra dentro del temario de 3ºESO. Les daré el enlace a mis alumnos.
ResponderEliminarGracias por tu apoyo en este carnaval.
Salu2
una pregunta para nota: y en la esfera, cuántos movimientos distintos hay?
ResponderEliminarJo, Alberto, eso no vale, que tú juegas con ventaja, que yo soy de Análisis...
ResponderEliminarVenga va, esto me lo apunto para otro articulillo.
Ya te llamaré.
Genial. Sólo una duda. No entiendo por qué la simetría con deslizamiento tiene la consideración de un movimiento cuando es la composición de dos.
ResponderEliminarUn saludo.
La composición de movimientos es SIEMPRE otro movimiento. Y esto es muy fácil de comprobar con la definición que di de movimiento.
ResponderEliminarAhora bien. Salvo en el caso de la simetría con deslizamiento, las otras posibles combinaciones de 2 movimientos, vuelve a dar uno de los movimientos ya conocidos (traslación, giro o simetría).
No sé si me explico.
Te explicas perfectamente. Me preguntaba por qué tenía tanta consideración como para considerarlo "el cuarto movimiento", pero ya lo veo. Gracias.
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