En el presente artículo, vamos a recuperar los conceptos necesarios del anteriormente citado y vamos a presentar la demostración de que, efectivamente, el efecto mariposa no es necesario para definir el caos. La demostración de este hecho no es difícil y tan sólo requiere conocimientos básicos de topología. Pero claro, estamos ya hablando de un nivel de estudios universitarios.
Vamos a recordar algunas cuestiones. Te recomiendo que antes de continuar, leas el artículo El Efecto Mariposa: vaya ¿timo? y también le eches un vistazo a Caos lineal: ¿una paradoja?.
En primer lugar, el concepto de caos, aunque estaba en el acervo matemático, no tenía una definición clara hasta que Robert L. Devaney la introdujera en 1986. Según este matemático, un sistema dinámico, es decir, una aplicación continua
- Dependencia sensible respecto de las condiciones iniciales (efecto mariposa).
- Existe una órbita densa.
- Existe un conjunto denso de puntos con órbita periódica.
Antes de empezar, dado un punto
La segunda condición nos dice que existe un punto
Finalmente, la tercera condición nos dice que para cada punto
Bien, pues ahora que sabemos todo lo que hay que saber, vamos a demostrar nuestro resultado.
Teorema: Sea
Demostración: Antes de empezar, si
En primer lugar, elijamos dos puntos periódicos diferentes
Existe
tal que para cada
existe un punto periódico
de forma que
.
Pues bien, vamos a demostrar que
Sea
Tal y como hemos visto, dado
Ahora, sea
Ahora, sabemos que existe un conjunto denso de puntos con órbita densa, por lo tanto, existe un punto
Ya estamos casi a punto. Sea
Ahora ya sólo nos queda darnos cuenta de que, como
Por un lado, sabemos que
; por otro
; y finalmente, como
y
, se tiene que
. En resumen, tenemos que
.
Y ya llegamos al final. Usando la desigualdad triangular, se tiene que o bien
o bien
Pero como
y
, en cualquiera de los dos casos hemos demostrado la existencia de un punto
y un natural
(en realidad
) tales que
y
. Por lo tanto,
es sensible respecto de las condiciones iniciales y con constante de sensibilidad
.
Y aquí acaba la demostración.
Bueno, sé que no ha sido fácil para muchos de vosotros, pero de vez en cuando hay que ir metiendo un poco de nivel. Como ya eh dicho antes, esta demostración, en realidad, utiliza muy poca batería de conocimientos matemáticos: una distancia y el concepto de densidad. Creo que está al alcance de cualquier estudiante de primero de matemáticas e, incluso, de primer curso de ingenierías y física. Y si hay algo que no entiendes, pues ya sabes qué tienes que tratar de aprender.
Y ya llegamos al final. Usando la desigualdad triangular, se tiene que o bien
Y aquí acaba la demostración.
Bueno, sé que no ha sido fácil para muchos de vosotros, pero de vez en cuando hay que ir metiendo un poco de nivel. Como ya eh dicho antes, esta demostración, en realidad, utiliza muy poca batería de conocimientos matemáticos: una distancia y el concepto de densidad. Creo que está al alcance de cualquier estudiante de primero de matemáticas e, incluso, de primer curso de ingenierías y física. Y si hay algo que no entiendes, pues ya sabes qué tienes que tratar de aprender.
PD1: La referencia principal de esta demostración es la que aparece en J. Banks y otros, On Devaney’s definition of chaos, Amer. Math Month.99 4 (1992), 332-334. http://dx.doi.org/10.2307/2324899 Aunque la demostración no es exactamente la misma, sino que la he modificado lo suficiente como para no tener que introducir el concepto de transitividad topológica que es mucho menos intuitivo que el de existencia de órbita densa.
PD2: Esta entrada participa en la Edición 3.141 (Abril) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog DesEquiLibros.
Hay un párrafo que dice:
ResponderEliminarSea x perteneciente a X y E>0 (podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que E<delta ). Como el conjunto de puntos periódicos es denso, existe un punto periódico p tal que d(x,p)<E<delta.
¿Cómo se puede acotar eso a delta0/8? ¿Qué pasa si, por ejemplo, x se sitúa justo en mdeio de las dos órbitas?
Muchas gracias.
No entiendo tu pregunta, anónimo. d(x,p) no hace falta acotarlo por δ0/8.
ResponderEliminarEn el caso de que no se produzca la segunda propiedad: en el caso de que el espacio de estudio sea discreto en lugar de continuo (y poseamos la capacidad de medir la unidad discreta mínima en cada sector de la órbita), el caos no podría presentarse.
ResponderEliminarOcurre que, aun siendo discreto, si no tenemos la capacidad técnica de medir esa unidad discreta mínima, si veríamos el proceso como caótico.
Es esto cierto ??
¿ Cómo se define la distancia entre dos órbitas ( conjuntos de puntos ) ?
ResponderEliminar¿ Y la distancia entre un punto y una órbita ?
Gracias
si A y B son dos conjuntos cualesquiera d(A,B)=inf{d(a,b), a\in A y b\in B}
EliminarUna pregunta... ¿Que significa la U invertida? ¿ Es un sumatorio de intersecciones?
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